Matematika vo fotografii

Matematika vo fotografii? Je možné vôbec spojiť tieto diametrálne odlišné disciplíny? Matematickú exaktnosť a jednu z foriem umenia? Albert Einstein raz povedal, že radosť z uvažovania a z chápania je najkrásnejším darom prírody.

© Autor: Milan Marônek, 24.2.2013

Ak teda chcete pochopiť niektoré súvislosti a zákonitosti vo fotografii, ktoré ste doteraz brali len ako fakty a nekládli ste si otázku prečo, čítajte ďalej.

Úvod

Nástup digitálnej fotografie a možnosť okamžite zopakovať nevydarený záber potrebu počítania výrazne obmedzil. Na druhej strane renesancia analógovej fotografie, prípadne snaha o hlbšie porozumenie zákonitostí z oblasti fotografie určité matematické znalosti vyžadujú. Hoci matematika zo základnej školy je na uvádzané výpočty prikrátka, stredoškolské vedomosti bohato postačujú. Ak sa teda nebojíte a máte chuť sa niečo nové dozvedieť, nech sa páči, čítajte ďalej. Ak vám však pri pomyslení na logaritmy, mocniny a odmocniny naskakuje husia koža, na čelo vystupuje studený pot, stúpa krvný tlak a zrýchľuje sa pulz, venujte sa radšej niečomu inému. Nerád by som vás mal na svedomí :-)

Počítanie s clonovými číslami

Takmer každý, kto nefotografuje s najjednoduchším kompaktným fotoaparátom alebo mobilom sa musel stretnúť s pojmom clonové číslo. Je to číslo, ktoré s istým zjednodušením udáva, koľkokrát je priemer vstupného otvoru (vymedzený clonou) obsiahnutý v ohniskovej vzdialenosti objektívu.

Čím je pomer ohniskovej vzdialenosti ku priemeru vstupného otvoru väčší, tým bude i väčšie clonové číslo, ale  vstupný otvor pre svetlo vstupujúce do objektívu menší.

Zoradenie clonových čísel za sebou nie je náhodné. Musí byť splnená podmienka, že s každým ďalším pribúdajúcim clonovým číslom sa plocha vstupného otvoru (tú vymedzujú lamely clony) vždy zmenší dvakrát. Aby tomu tak bolo, musí sa priemer vstupného otvoru zmenšiť vzorec sqrt(2)   krát ( vzorec sqrt(2)=).

Ak za základné clonové číslo zvolíme hodnotu 1, nasledovné clonové čísla budú:
1.1,4=1,4
1,4.1,4≈2
2.1,4=2,8
2,8.1,4≈4
atď.
Zaokrúhlením týchto hodnôt je možné dostať rad clonových čísel:
1; 1,4; 2; 2.8; 4; 5,6; 8; 11; 16; 32; 45 atď.
V prípade, že by sme chceli vytvoriť rad clonových čísel s krokom ½ clonového čísla, násobili by sme hodnotou
vzorec 4-th root(2)=. Rad clonových čísel by potom vyzeral nasledovne:
1; 1,2; 1,4; 1,7; 2; 2,4; 2.8; 3,4; 4; 4,7; 5,6; 6,7 atď.

Ak váš fotoaparát umožňuje zmenu clonového čísla po ½ clonového čísla (a to by mal), displej by mal ukazovať horeuvedené hodnoty (ak to samozrejme svetelnosť objektívu dovolí). Malé odchýlky (napr. 3,5 namiesto 3,4) je možné pripočítať na vrub zaokrúhľovaniu na nepárnu číslicu.

V menu moderných zrkadloviek je možné nastaviť krok dokonca 1/3 clonového čísla. V tomto prípade je treba vytvárať rad clonových čísel násobením vzorec 6-th root (2)≈1,2246.

Rad clonových čísel vyzerá potom takto:
1,1; 1,3; 1,4; 1,6; 1,8; 2,0; 2,2; 2,5; 2,8; 3,2; 3,5; 4,0; 4,5; 5,0; 5,7; 6,3; 7,1; 8,0 atď.

Pri manuálnom ovládaní clony krúžkom na starších objektívoch je voľba medziclony možná, ale vyznačené sú len celé clonové čísla, ale displej zobrazuje aj medzihodnoty.
No a teraz otázka. O koľko clonových čísel zacloníme objektív, ak zmeníme clonové číslo z hodnoty 2 na 8?
Správny fotograf ovláda postupnosť clonových čísel i keď ho zobudíte o polnoci a uvažuje nasledovne:
zaclonením o 1 clonové číslo dostanem clonu 4, o ďalšie clonové číslo clonu 5,6 a o ďalšie clonu 8. Zaclonil som teda trikrát, z toho vyplýva, že správna odpoveď znie: tri. Dobre. Ale ako sa dá dopracovať k tomuto výsledku matematicky? Už počujem ako protestujete!  Načo matematiku, keď sa to dá i takto jednoducho? Ak ma však necháte dohovoriť, dozviete sa to. Niekoľko riadkov vyššie som uviedol, že jednotlivé členy v rade clonových čísel sa líšia násobkom vzorec sqrt(2). Ak zacloníme o 3 clonové čísla, tretie v poradí bude od prvého väčšie vzorec sqrt(2)pow3krát. Vo všeobecnosti n-té clonové číslo (Fn) od zvoleného (F1) bude vzorec sqrt(2)pow3krát väčšie, teda

vzorec (1)           (1).

Ak poznáme obe clonové čísla Fn a F1, môžeme počet clonových čísel medzi nimi vypočítať nasledovne:
Najskôr zlogaritmujeme rovnicu (1) a dostaneme:

vzorec (1.1)      (1.1)

Po následnej úprave dostaneme:

vzorec (1.2)     (1.2)

Pre matematicky zdatnejších čitateľov môžeme vzťah (1.2) upraviť takto:

vzorec (1.3)     (1.3),

to znamená, že sa počíta s logaritmom so základom vzorec sqrt(2). Hoci sa to môže zdať na prvý pohľad komplikované, nie je tomu tak.
Prosím neukameňujte ma za malý exkurz do logaritmov. Bude naozaj krátky a dúfam, že v záujme veci. Tak teda. Najčastejšie sa používa logaritmus so základom 10, ktorému hovoríme dekadický. Logaritmus „hovorí“ na koľkú musíme umocniť jeho základ, aby sme dostali hľadané číslo. Napr. log 1000=3, pretože 10 ( to je jeho základ) na tretiu sa rovná 1000, teda. 103=1000. Pri logaritme so základom  potom zisťujeme na koľkú musíme umocniť vzorec sqrt(2), aby sme dostali hľadané číslo. Napr vzorec log base sqrt(2), pretože vzorec sqrt(2)pow2.

Dobre, koniec exkurzie do ríše logaritmov, poďme ďalej.

Najskôr mám pre vás prekvapenie. Je to maximálne zjednodušený vzťah (1.2), aby sa s ním dalo čo najľahšie počítať:

vzorec (1.4)     (1.4).

To hádam na akejkoľvek vedeckotechnickej kalkulačke zvládnete ľavou zadnou, však?
O. K., ako my na Slovensku hovoríme, vráťme sa späť k nášmu príkladu s clonovými číslami 2,8 a 8. Ak dosadíme do vzťahu (1.4) za Fn=8 a F1=2,8, počet clonových čísel n bude:

vzorec (1.4a). Výsledok teda sedí.

No a teraz zopár slov prečo na takýto jednoduchý výpočet, ku ktorému stačilo poznať rad clonových čísel a vedieť počítať na prstoch bolo potrebné použiť nejaký krkolomný vzťah, a ešte k tomu logaritmický! Je tomu tak preto, lebo sa môže vyskytnúť prípad, pri ktorom by vám ani všetkých 20 prstov nebolo nič platných. Neveríte? Tak dobre. Máme napr. objektív 3,5-4,5/28-90 a zaujíma nás, o koľko clonových čísel sa zmení jeho svetelnosť pri zmene ohniska z 28 na 90 mm. Nezaujíma nás teraz, že sa svetelnosť zmení z hodnoty 1:3,5 na hodnotu 1:4,5. Zaujíma nás, koľko je to v clonových číslach. No čo, pomôžu prsty…?

Ak použime vzťah (1.4), výsledok dostaneme za okamih:
vzorec (1.4b). To znamená, že sa svetelnosť zmenší približne o ¾ clonového čísla.

Ďalšia situácia môže nastať, ak budeme potrebovať vypočítať výsledné clonové číslo Fn od východiskového clonového čísla F1 pri zaclonení o daný počet clonových čísel n.

Napríklad: aké bude výsledné clonové číslo, ak pri clone 8 zacloníme o 3 clonové čísla? Opäť môžeme použiť prsty, to sme si už vysvetlili, alebo môžeme použiť vzťah odvodený z predchádzajúcich vzťahov:

                                                       vzorec (2)015     (2),

po dosadení za jeho jednoduchší variant:

                                                          vzorec (3)     (3).

V prípade, že chceme od daného clonového čísla o n clonových čísel odcloniť, použijeme v exponente vzťahov (2 a 3) znamienko (–). Naopak, ak chceme o n clonových čísel zacloniť, použijeme znamienko (+). Jasné?
Vyskúšajme si to. Zaclonenie o 3 clonové čísla od clony 8:

vzorec (3a).
Odclonenie o 3 clonové čísla od clony 8:

vzorec (3b). No vidíte, ako nám to dobre ide.

Počítanie s citlivosťou snímača a filmu

V súčasnosti sa i u nás citlivosť najčastejšie vyjadruje v jednotkách ISO/ASA (v minulosti to bol DIN), pričom za základnú citlivosť považujeme hodnotu 100 ISO/ASA.
Dvojnásobné zvýšenie citlivosti zodpovedá filmu s citlivosťou ISO 200, štvornásobné ISO 400, dvojnásobné zníženie citlivosti analogicky ISO 50 atď.
V clonových číslach dvojnásobné zvýšenie citlivosti zodpovedá 1 clonovému číslu, štvornásobné 2 clonovým číslam, osemnásobné 3 clonovým číslam atď.
Počet clonových čísel n medzi dvomi citlivosťami filmov ASA1 a ASAn ak ASAn > ASA1 je možné vyjadriť vzťahom:

                                                                   vzorec (5)     (5)

V predchádzajúcom prípade sa v uvedenom vzťahu (1.3) vyskytoval logaritmus so základom vzorec sqrt(2), v tomto prípade počítame s logaritmom so základom 2. Logaritmom so základom 2 (tobôž so základom ) sa žiadna mne známa kalkulačka (a to som ich už videl neúrekom) nemôže pochváliť, ale logaritmus dekadický (so základom 10), patrí akosi k dobrej výchove každého vedeckotechnického počítadla. Ak použijeme malú fintu, vystačíme i s ním a vzťah (5) po zjednodušení prejde na tvar:

                                                                  vzorec (6a)     (6).

Rozdiel, čo?

A opäť je tu praktická úloha na precvičenie. Koľko clonových čísel zodpovedá prechodu z citlivosti 200 ASA na citlivosť 50 ASA?

vzorec (6). Skutočne. Zníženie citlivosti na 100 ASA zodpovedá 1 clonovému číslu, na 50 ASA
2 clonovým číslam, ako výpočtom vyšlo.

Možno sa vám už niekedy stalo, že ste potrebovali urobiť korekciu expozície v krokoch 1/3 expozičného stupňa (clonového čísla), ale analógový fotoaparát umožňoval korekciu iba po ½ expozičného stupňa. Napríklad máte založený film s citlivosťou 100 ASA a chcete použiť korekciu expozície povedzme +1/3 EV, teda +1/3 clonového čísla, čo znamená miernu preexpozíciu. Clonu však môžeme meniť iba po poloviciach clonového čísla. Čo s tým? Babo raď!

Musíme nejakým spôsobom oklamať expozimeter prístroja, aby si myslel, že máme založený film s citlivosťou o 1/3 expozičného stupňa nižšou, čím dosiahneme požadovanú miernu preexpozíciu. A na akú hodnotu citlivosti treba prístroj manuálne prestaviť (samozrejme, ak to prístroj umožňuje a netrvá tvrdohlavo na citlivosti zistenej z DX kódu)? I na to existuje samozrejme vzťah, odvodený tentoraz zo vzťahu (5):

                                                  vzorec (7)     (7)

Chodiace encyklopédie vedia, že log 2 sa rovná približne 0,30103, čím vzťah (7) môže opäť trochu zľudovieť a prejsť na tvar:

                                            vzorec (8)     (8).

ASAn je výsledná citlivosť v ASA na ktorú je treba film nastaviť, ASA1 je menovitá citlivosť filmu a EV je požadovaná korekcia v expozičných stupňoch. Znamienko (+) použijeme, ak chceme film podexponovať (výsledná nastavená citlivosť bude väčšia, ako je menovitá citlivosť filmu), so znamienkom (–) budeme počítať pri preexpozícii (výsledná citlivosť filmu bude menšia, ako je menovitá citlivosť).

Pre náš prípad to bude:

vzorec (8a). Expozimeter prístroja nastavíme na 80 ASA a máme to čo sme chceli.

Keďže opakovanie je matka múdrosti skúsme vypočítať ešte jeden podobný príklad. Film s citlivosťou 50 ASA, chceme preexponovať o 1 1/3 EV. Akú citlivosť treba nastaviť?

Je to to isté ako v predchádzajúcom prípade, lenže v ružovom:

 vzorec (8b). Z toho vyplýva, že na aparáte nastavíme citlivosť 125 ASA.

Pripomínam, že tieto finty platia len pre analógové fotoprístroje, kde je možné nezávisle od vloženého filmu nastaviť jeho citlivosť.

Počítanie s expozičnými časmi

Podobne ako clonové čísla, i expozičné časy sú zoradené tak, že smerom ku kratším časom je každý nasledovný expozičný čas polovicou predchádzajúceho, smerom k dlhším expozičným časom je každý nasledovný čas dvojnásobkom predchádzajúceho.
Skrátenie expozičného času o polovicu musí byť sprevádzané odclonením o 1 clonové číslo, ak chceme zachovať konštantnú expozíciu. Predĺženie expozičného času na dvojnásobok musí byť analogicky nasledované zaclonením o 1 clonové číslo.
V súčasnosti sa rozsah expozičných časov u jednookých zrkadloviek pohybuje najčastejšie v rozsahu 30 s až 1/2000 s, prípadne 1/4000 s, či 1/8000 s.

Počet clonových čísel n zodpovedajúci prechodu z jedného expozičného času t1 na druhý tn (tn>t1) sa vypočíta zo vzťahu:

                                                             vzorec (9)     (9).

Opäť tu máme náš známy logaritmus so základom 2, čo nás už neprekvapí, ale mohlo by nás zaskočiť, ak by sme nedodržali podmienku  tn>t1. V takom prípade by sme dostali n so záporným znamienkom, to však môžeme pokojne ignorovať.  Vzťah (9) by sa dal napísať s použitím absolútnej hodnoty i tak, že by podmienka tn>t1 nemusela byť splnená, ale nechcem to zbytočne komplikovať. Skrátka, treba vždy vydeliť väčšiu hodnotu menšou, aby sme dostali číslo väčšie ako 1 a nie naopak. Potom nás záporné znamienko nezaskočí.

Verní tradícii a priblížením sa k masám môžeme zjednodušene vzťah (9) napísať v tvare:

                                                      vzorec (10)     (10).

Teraz už môžeme vypočítať, koľkým že to expozičným stupňom zodpovedá prechod od expozičného času 30 s na expozičný čas 1/2000 s:

vzorec (10a).

Prechod z expozičného času 30 s na 1/2000 s by musel byť sprevádzaný odclonením o 16 clonových čísel. Ak sa na to ale pozrieme inak, tak možnosť zmeny expozičných časov z 30 s na 1/2000 s zodpovedá korektnej expozícii pri zmene svetelných pomerov o 16 clonových čísel.

Vráťme sa trocha späť a skúsme vypočítať počet clonových čísel objektívu so svetelnosťou 1:1,8 a maximálnym clonovým číslom 32. Použijeme vzťah (1.4):

vzorec (1.4b).

Ako vidíme pri regulovaní expozície iba clonou máme k dispozícii 8 expozičných stupňov (u súčasne používaných zoom objektívov ešte menej pretože bežné svetelnosti sa pohybujú okolo 1:4,5), pri zmene času závierky je možné regulovať expozíciu v rozsahu dvojnásobnom, t. j. v 16 expozičných stupňoch. V súčasných aparátoch je clonová automatika (predvoľba expozičného času) už celkom bežná, ale v minulosti sa preferovala viac časová automatika (predvoľba clony), ktorá umožňovala regulovanie expozície –ako sme ukázali, v širšom rozsahu, plynulejšie, bola výrobne jednoduchšia a umožňovala pracovať s hĺbkou ostrosti.

V prípade, že potrebujeme vypočítať výsledný expozičný čas tn a poznáme pôvodný expozičný čas t1 spolu s počtom expozičných stupňov n, môžeme použiť vzťah:

                                                  vzorec (11)     (11),

alebo jeho jednoduchší variant:

                                               vzorec (12)     (12).

Pre preexpozíciu o n stupňov použijeme znamienko (+), pre podexpozíciu o n stupňov znamienko (-). Ak ste si všimli, že je to opačne ako pri clonových číslach, tak vás chválim. Ale viete aj prečo?
Zmenšenie clonového čísla znamená preexpozíciu, ale zmenšenie, alebo ak chcete skrátenie expozičného času má za následok podexpozíciu. Preto.

A už sme dávno nepočítali. Tak to hneď napravíme. Expozimeter ukazuje expozičný čas 1/60 s a požadujeme preexpozíciu o 3 expozičné stupne. Aký bude výsledný expozičný čas?

vzorec (12a). Výsledný expozičný čas je teda 1/8 s.

Pre podexpozíciu o 3 expozičné stupne od času 1/60 s bude výpočet nasledovný:

vzorec (12b). Konečný expozičný čas bude 1/500 s.

Počítanie so smernými číslami

Uvažujme s nasledovným problémom: máme dva zábleskové prístroje so smernými číslami 24 (m)/100 ASA a 30 (m)/100 ASA. Koľkým clonovým číslam zodpovedá tento rozdiel v smerných číslach?

Vzťah pre výpočet:

                                                         vzorec (13)     (13).

Ako vidíme, zasa sa sem prikmotril už náš starý známy logaritmus so základom a aby sme sa vyhli komplikácii so záporným znamienkom dodržme podmienku, že SČ2>SČ1 (podobne ako pri výpočte s expozičnými časmi a citlivosťami). A poďme zjednodušovať:

                                                                vzorec (14)     (14).

Teraz môžeme počítať: vzorec (14a). To znamená, že blesk so smerným číslom 30 (m)/100 ASA oproti blesku so smerným číslom 24 (m)/100 ASA je schopný poskytnúť približne o 2/3 clonového čísla „viac svetla“. Z praktického hľadiska je tento rozdiel zanedbateľný a ak by boli oba blesky rovnako funkčne vybavené, pričom rozdiel v cene by nebol zanedbateľný, výhodnejšie by bolo kúpiť blesk so smerným číslom 24 (m)/100 ASA. Zdanie niekedy klame…

Počítanie s expozičnými stupňami

Každý fotograf sa skôr či neskôr stretne s expozičnými stupňami označovanými podľa anglosaskej literatúry ako EV (Exposure Value). Veľmi zjednodušene a polopatisticky povedané, expozičný stupeň zodpovedá osvetleniu snímanej scény. Čím je expozičný stupeň vyšší, tým je i osvetlenie scény vyššie, a naopak, s poklesom EV sa znižuje i osvetlenie fotografovanej scény. A čo je jednotkou osvetlenia? No predsa lux! Čiže okrem expozičného stupňa môžeme osvetlenie scény vyjadriť i v luxoch.

Aj expozičné stupne sa uvádzajú v číselnom rade, ktorého členy môžeme vypočítať matematicky. Slúži na to tento vzťah:

                                                vzorec (15)     (15).

Predpokladám, že vám neuniklo, že expozičné číslo EV je funkciou clonového čísla F a expozičného času t. Ono je ešte funkciou i citlivosti filmu, resp. snímača ale nebudeme to zbytočne komplikovať a zapamätáme si, že uvedený vzťah platí pre citlivosť 100 ASA a činiteľ odrazu 0,18 (tzv. 18% sivá). Tab. 1 sumarizuje závislosť medzi EV, clonovým číslom a expozičným časom a je v nej zahrnutá i citlivosť filmu.

Tab. 1 Expozičný stupeň v závislosti od citlivosti, clonového čísla a expozičného času

Tab. 1 Expozičný stupeň v závislosti od citlivosti, clonového čísla a expozičného času

Vráťme sa ale späť ku vzťahu (15). Ak ho zjednodušíme, zmení sa vzťah (15) ako šibnutím čarovného prútika na oveľa fotogenickejší tvar:

                                                vzorec (16)     (16).

A už tuším vašu otázku, či skôr poznámku. Predsa môže existovať teoreticky neobmedzené množstvo vzájomných kombinácií clony a času, pri danom EV. Áno je to pravda a je to vidieť i v tab. 1. Vidím, že ste vnímavý čitateľ, len tak ďalej. Ak bude zlomok , a to bude napríklad pre clonu 1,4 a čas 2 s, logaritmus tohoto zlomku bude 0 a tým i celý súčin, takže EV=0. Tomuto expozičnému stupňu zodpovedá podľa [1] osvetlenie asi 2,5 luxu. A ako je to s prepočtom expozičných stupňov na už spomenuté luxy a naopak? Takto:

                                                         vzorec (17)     (17).

                                                        vzorec (18)     (18).

Ak ste čakali, že logaritmus so základom 2 už viac potrebovať nebudeme, musím vás sklamať. V uvedenom vzťahu (18) je potrebný. Chcete ho zjednodušiť? Vaše prianie mi je rozkazom:

                                                           vzorec (19)     (19).

Vzťahy (17 až 19) platia opäť pre citlivosť 100 ASA. V prípade, že sa zväčší citlivosť dvojnásobne (na 200 ASA) výsledný expozičný stupeň sa zvýši o 1, ak sa citlivosť zníži o polovicu, EV sa zníži o 1.

Okrem týchto vzťahov by mohli prísť vhod ešte ďalšie dva vzťahy odvodené zo vzťahu (15). Prvý umožní vypočítať z clonového čísla a expozičného stupňa zodpovedajúci expozičný čas:

                                           vzorec (20)     (20).

Druhý je dobrý na výpočet clonového čísla zo známeho expozičného času a expozičného stupňa:

                                        vzorec (21)     (21).

A ako už asi správne tušíte i vzťahy (20) a (21) platia pre citlivosť 100 ASA.

Poďme si to teraz precvičiť. „Nažhaviť“ kalkulačky, ideme na to!

Úloha:

Manuál k fotoprístroju udáva rozsah merania expozície 1 až 20 EV. Ak máme objektív so svetelnosťou 1:4, (minimálne clonové číslo je teda 4) a maximálne clonové číslo, ktoré objektív dovoľuje je dajme tomu 22, aké expozičné časy budú zodpovedať EV 1 pri clone 4 a EV 20 pri clone 22? V tomto prípade použijeme vzťah (20):

vzorec (20a) Expozícia 8 s pri clone 4 a citlivosti 100 ASA teda zodpovedá EV 1.

Pre EV 20 je potom expozičný čas: vzorec (19a) Expozičnému stupňu EV 20 pri clone 22, citlivosti 100 ASA by zodpovedal expozičný čas 1/2000 s.

Ak sa pozriete do tabuľky 1, zistíte, že naše výpočty sa presne zhodujú s tabuľkovými hodnotami.

Ďalšia úloha:

Výrobca videokamery uvádza citlivosť snímača 1 lux. Akému expozičnému času by zodpovedalo toto osvetlenie pri clone 4 a citlivosti fimu 400 ASA?

A tu je jej riešenie:

Nevšímajme si zatiaľ citlivosť 400 ASA. Uvažujme, že máme citlivosť 100 ASA. Pre tento prípad môžeme použiť vzťah (19), ktorým zistíme EV na základe osvetlenia v luxoch:

vzorec (19b). Na tomto prípade vidíme, že expozičný stupeň môže byť menší než nula. Nie je na tom nič zvláštne. EV 0 je definované napríklad pre clonové číslo 1 a expozičný čas 1 s a ak bude expozičný čas pri tejto clone dlhší bude i expozičný stupeň menší ako 0, napr. –1, alebo –2. Slovný popis osvetlenia scény a jemu prislúchajúcemu expozičnému stupňu je uvedený v tab. 2. Túto tabuľku môžete tiež využiť v prípadoch fotografovania v neštandardných svetelných situáciach, kedy expozimeter prístroja neudáva správne hodnoty. Za východiskové hodnoty môžete zvoliť údaje z tabuľky a poistiť expozíciu preexpozíciou i podezpozíciou o 1, alebo 2 clony.

Tab. 2 Hodnota expozičného stupňa v závislosti od osvetlenia scény

Tab. 2 Hodnota expozičného stupňa v závislosti od osvetlenia scény

Trochu sme odbočili, takže vráťme sa k našej úlohe. Vieme už, že osvetleniu 1 lux zodpovedá expozičný stupeň –1,322 pri citlivosti 100 ASA.

Ak zvolíme clonu 4 bude zodpovedajúci expozičný čas (vzťah (20)):

vzorec (20c)

Pre citlivosť 400 ASA bude expozičný čas kratší, pretože je film oproti 100 ASA 4x citlivejší.

Teraz sa môžeme rozhodnúť ako budeme postupovať ďalej. Prvý spôsob je použitie zdravého sedliackeho rozumu: ak je pre citlivosť 100 ASA expozičný čas 40 sekúnd, potom pre citlivosť 200 ASA to bude polovica, čiže 20 sekúnd a pre citlivosť 400 ASA štvrtina, t. j. 10 sekúnd.

Ale vedeli by ste to vypočítať exaktne na základe už uvedených vzťahov? Ak si spomeniete na vzťah (12), ktorý je na to ako stvorený a za n dosadíte hodnotu 2 (počet clonových čísel medzi citlivosťami 400 a 100 ASA) a za t dosadíte 40 sekúnd, dostanete:

vzorec (12c). K rovnakému výsledku sme dospeli dvomi rôznymi cestami a je to správne.

Ešte poznámka k neceločíselným expozičným stupňom. V tab. 1 sú uvedené expozičné časy a clonové čísla pre celočíselné násobky expozičných stupňov. V prípade, že expozičný čas, alebo clonové číslo budú mimo štandardného radu, môže i expozičný stupeň nadobudnúť neceločíselnú hodnotu.

Počítanie s viacnásobnou expozíciou

To najzložitejšie sme si nechali na koniec. Nebojte sa, až také zložité to zasa nebude. Multiexpozícia, alebo ak chcete viacnásobná expozícia sa využíva najmä v analógovej tvorivej fotografii. V podstate ide o exponovanie série najmenej dvoch záberov na jediné políčko filmu bez toho, že by sa film previnul. Len málo digitálnych fotoaparátov má túto funkciu zabudovanú, pretože je ju možné ľahko docieliť v počítači. Pri viacnásobnej expozícii sa môžu vyskytnúť dva prípady osvetlenia citlivej emulzie či snímača.
V prvom prípade pri každej dielčej expozícii sa osvetlí iba tá časť obrazového políčka, resp. snímača ktorá ešte nebola predtým exponovaná. Predstavte si napríklad, že ľavú časť políčka zatienime, aby na ňu pri expozícii nedopadlo žiadne svetlo, ale pravá strana sa exponuje normálne. Potom naopak zatienime už exponovanú pravú časť a exponujeme na neexponovanú ľavú časť. Výsledkom bude expozícia celého políčka tak, ako by sme exponovali súčasne ľavú i pravú polovicu. Týmto spôsobom je možné vytvoriť efekt napr. „dvojníka“ na fotografii, alebo na filmovom plátne. Ako vidíte, ide to i bez klonovania.
Pri stanovení expozície v tomto prípade postupujeme úplne rovnako ako pri stanovení expozície na celé políčko naraz.

Druhý prípad multiexpozície spočíva v tom, že každá ďalšia expozícia sa realizuje naraz na celý formát políčka, alebo snímač, pričom, a to musím zdôrazniť, snímaná scéna sa nemení. Ak by tomu tak nebolo, celá situácia by sa ešte viac skomplikovala, pretože so zmenou scény by sa zmenili i jej svetelné pomery, a tak by na tú istú oblasť obrazu scény na snímači alebo citlivej vrstve filmu mohlo pri prvej expozícii dopadnúť viac svetla ako pri druhej expozícii, hoci by obe expozície boli rovnaké.
Uvažujme teda so zjednodušenou situáciou, kedy sa fotografovaná scéna počas jednotlivých expozícií nemení. S každou ďalšou expozíciou dostane citlivá emulzia i ďalšiu dávku svetla. Ak by sme jednotlivé expozície nijakým spôsobom nelimitovali, došlo by čoskoro k preexpozícii snímku. Uvediem príklad. Expozimeter prístroja stanoví ako expozičné parametre clonu 8 a čas 1/60 s. V prípade, že to isté políčko exponujeme pri clone 8 časom 1/60 sekundy dvakrát (dvojitá expozícia), každá časť políčka bude vystavená pôsobeniu svetla 2 krát 1/60 s=1/30 s, čo zodpovedá jednému expozičnému stupňu, teda +1 EV. Inými slovami, záber sme preexponovali o 1 clonové číslo.
Pripomínam pre istotu ešte raz: pri tomto spôsobe multiexpozície sa výsledné osvetlenie kumuluje. Je to podobné ako napr. pri osobných dozimetrických prístrojoch ktoré zaznamenávajú kumulovanú hodnotu röntgenového, alebo gama žiarenia.
Skúsme ešte nasledovný príklad: Akej výslednej korekcii bude zodpovedať dvojnásobná expozícia, ak povedzme prvá expozícia bude 1/60 s pri clone 8 a druhá 1/250 s pri clone 2,8, pričom správnou expozíciou je už prvá expozícia?
Predpokladám, že uvažujete nasledovne: ak je už prvá expozícia správna, musí každá ďalšia expozícia spôsobiť celkovú preexpozíciu. Ak skutočne uvažujete takto, uvažujete správne. Otázkou zostáva, o akú veľkú preexpozíciu sa bude jednať.
Aby sme mohli určiť celkový expozičný čas, počas ktorého svetlo dopadá na citlivú vrstvu musíme najskôr obe expozície transformovať na expozície pri rovnakej clone. Je ľahostajné, akú clonu si zvolíme, ale rozumné a rýchle je zmeniť iba jednu z expozičných hodnôt podľa druhej. Povedzme, že s prvou expozíciou (1/60 s, clona 8) nebudeme robiť nič. Transformujeme druhú expozíciu, akoby bola vykonaná pri clone 8. Ak clone 2,8 zodpovedá expozičný čas 1/250 s, clone 8 musí zodpovedať čas 1/30 s. Pri dvojitej expozícii bude teda svetlo dopadať na citlivú vrstvu počas 1/60 s+1/30 s=1/20 s. Ak sa správna expozícia dosiahne pri clone 8 a čase 1/60 s, s dvojitou expozíciou dosiahne expozíciu ekvivalentnú clone 8 a času 1/20 s. A aký je rozdiel medzi oboma expozíciami v expozičných stupňoch, alebo ak chcete clonových číslach? Podobný príklad sme už počítali, pamätáte? Môžeme použiť vzťah (10), z ktorého nám po dosadení za tn=1/20 a za t1=1/60 vyjde n=1,585. To znamená, že výsledná dvojitá expozícia spôsobí celkovú preexpozíciu približne o + 1,5 EV.
Čo však v takom prípade, keď sú jednotlivé expozície uvedené vo vzťahu ku správnej expozícii korekciou v expozičných stupňoch? Konkrétne: prvá expozícia sa urobí s korekciou –1 EV, druhá s korekciou –2 EV. Aká bude výsledná expozícia zložená z týchto dvoch čiastkových expozícií? Príliš mnoho otázok? Nebojte sa, skúsime nájsť na ne odpovede.
Na základe toho, čo sme už uviedli je možné postupovať dvoma spôsobmi. Ukážeme si oba a nechám už na vás, ktorý sa vám bude zdať sympatickejší.
Pri prvom spôsobe musíme poznať aspoň jednu z expozičných hodnôt. Buď správnu, alebo tie s korekciami. Dajme tomu, že prvá korigovaná expozícia bude 1/250 s pri clone 8. Ak je druhá expozícia korigovaná hodnotou – 2 EV vzhľadom na korektnú expozíciu, bude druhá expozícia korigovaná vzhľadom na prvú expozíciu hodnotou
–1 EV. To znamená, že jej hodnota bude 1/500 s pri clone 8. Ďalej je to už podobné ako v predošlom prípade. Spočítame jednotlivé expozičné časy: 1/250 s+1/500 s=3/500 s ≈ 1/167 s. Výsledná dvojexpozícia by zodpovedala jednej expozícii pri clone 8 s časom 1/167 s. Teraz zostáva už len vypočítať rozdiel v expozičných stupňoch od správnej expozície.  Keď expozícia s korekciou –1 EV mala hodnotu 1/250 s pri clone 8, správna expozícia, t. j. expozícia s korekciou 0 EV bude 1/125 s pri tej istej clone. Opäť môžeme použiť vzťah (10), za tn dosadiť hodnotu 1/500, za t1=3/500 a vyjde nám n= – 0,415. To znamená, že výsledná dvojexpozícia bude mínus 0,415 EV, čo zodpovedá približne podexpozícii o polovicu clonového čísla. To bol teda prvý spôsob a dúfam, že ste stíhali.
Skúsme druhý. V stručnosti poviem princíp. Jednotlivé expozície vztiahneme na expozičné stupne, transformujeme ich na hodnoty osvetlenia v luxoch, ktoré spočítame, výsledok transformujeme opäť na EV a odčítame expozičný stupeň pre korekciu EV 0. Jednoduché, nie? Ale vážne. Prejdeme jednotlivé kroky postupne spolu a uvidíte, že na tom nič nie je.
Povedal som, že jednotlivé expozície vztiahneme na expozičné stupne. To znamená, že ak správnej expozícii zodpovedá napr. EV 15, korekcia –1 EV bude znamenať EV 14 (naša prvá expozícia) a korekcia –2 EV bude znamenať EV 13 (druhá expozícia). Je jedno aký základný expozičný stupeň si zvolíte, pokojne to môže byť EV 10 a zodpovedajúce korekcie EV 9 a EV 8. Výsledok bude rovnaký. Ak neveríte, vyskúšajte si to.
Teraz druhý krok. Expozičné stupne transformujeme na osvetlenie v luxoch. Použijeme vzťah (17):

Expozícii korigovanej o – 1 EV zodpovedá EV 14, čo vyjadrené v luxoch je:
vzorec (17a)
Expozícii korigovanej o – 2 EV zodpovedá EV 13, čo vyjadrené v luxoch je:
vzorec (17b)
Môžeme pristúpiť k tretiemu, najjednoduchšiemu kroku, a tým je spočítanie osvetlenia z oboch expozičných stupňov: 40960 lux +20480 lux=61440 lux.
Vo štvrtom, predposlednom kroku vyjadríme získanú hodnotu v luxoch opäť expozičnými stupňami. Ak tušíte, že použijeme vzťah (19), bingo! Poďme na to:
vzorec (19c)Tram-ta-da-dá. A sme pri priatom, záverečnom kroku:
Na začiatku tohoto výpočtu sme si zvolili expozičný stupeň pre korekciu EV 0 hodnotu EV 15. Teraz nám vyšlo, že dvomi expozíciami dosiahneme hodnotu EV 14,585, to znamená menej ako EV 15. Ak od výslednej hodnoty v EV odčítame pôvodnú hodnotu v EV dostaneme:
14,585 EV – 15 EV= – 0,415 EV, čiže sa bude jednať o podexpozíciu o 0,415 EV. A teraz sa pozrite akú hodnotu sme dosiahli prvým spôsobom výpočtu. Navlas rovnakú! Ako vidieť, všetky cesty vedú do Ríma.
Ešte malá poznámka. Príklady na výpočet multiexpozície, ktoré som uviedol som koncipoval kvôli jednoduchosti ako dvojité expozície. Ak by bolo treba pracovať s trojexpozíciou, štvorexpozíciou, aleno n-expozíciou postup je úplne rovnaký, len vo vzorcoch sa nebudú spočítavať dva, ale tri, štyri či n členov.

Záver

Tak čo, bolelo to? Dúfam, že nie. Cieľom článku nebolo prinútiť vás pred každým snímkom vziať do ruky kalkulačku a všetko náležite prepočítať na 10 desatinných miest. To určite nie. Jeho hlavné poslanie bolo v uvedomení si niektorých zákonitostí, nad ktorými niekedy vôbec nepremýšľame a pomôcť v prípadoch, kedy nám doterajšie skúsenosti neumožňujú vyriešiť nastolený problém. Zvyčajne platí zlatá stredná cesta. Použite ten spôsob, ktorým sa k výsledku dostanete rýchlejšie. A niekedy, napodiv, je to práve s kalkulačkou v ruke.

Literatúra:

[1]     Krůs, J., Stýblo, P.: Fotografické, filmové a reprodukční tabulky, SNTL, Praha 1989

Marônek Milan

Marônek Milan

Predseda fotoklubu IRIS

2 thoughts on “Matematika vo fotografii

  1. Pingback: Gregory Smith